Considere f: R -> R dada por f(x) = { -x^2 + 9 se x > 3, x^2 - 9 se x <= 3 }.
(b) Usando a definição, determine as derivadas laterais f_+'(3) e f_'(3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas laterais para a função definida por partes . A gente vai usar o conceito de derivada e como calcular as derivadas laterais usando a definição. Precisamos encontrar e , que são as derivadas pela direita e pela esquerda no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas laterais. A derivada pela direita é o limite da taxa de variação da função conforme se aproxima de pelo lado positivo (valores maiores que ). Já a derivada pela esquerda é o limite quando se aproxima de pelo lado negativo (valores menores que ).

Passo 3

Vamos calcular primeiro. Observando a função:
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Agora, substituímos :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Substituindo :

Resposta

As derivadas laterais são:

Exercícios relacionados

Considere a função f(x) = a x^2 + b x.
(a) Usando a definição de derivada, calcule f'(1) em função de a e b.
Calcule as derivadas das seguintes funções.
© f(x) = cotg(x) / (4 - x^2)
Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(d) f(x) = x^2 - x, x = 1
Calcule as derivadas até 3^a ordem das funções a seguir.
(d) y = 2x / (x^2 - 1)