Calcule as derivadas das seguintes funções.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que é um conceito fundamental no cálculo que nos ajuda a entender como uma função muda em relação à sua variável. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto, ou seja, como a função está mudando naquele instante. Matemáticamente, a derivada de
em relação a
é denotada por
ou
.
Passo 3
Agora, olhando para a função
, vemos que temos uma função composta: a função cosseno aplicada a
. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 4
A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta
, então a derivada
. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos derivar cada parte separadamente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada da função
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(e)
(e)
Calcule as derivadas até
ordem das funções a seguir.
(d)
(d)
Considere a função
.
(b) Sabendo que a reta tangente ao gráfico de no ponto
tem equação
, determine
e
.
(b) Sabendo que a reta tangente ao gráfico de
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada:
(a)
(a)