Calcule as derivadas compostas indicadas. g(t) = f(x, y) = x^3 + x * y^2, x = cos(t), y = sen(t), d g / d t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a derivada composta de uma função , onde e . Isso envolve o conteúdo de derivadas compostas e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais são como derivadas normais, mas mantemos uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar as derivadas de e em relação a . Sabemos que:

Passo 4

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas compostas, que nos diz que a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo as derivadas que encontramos:
Agora, substituímos e :
Simplificando os termos:
Distribuindo:
Combinando termos semelhantes:

Resposta

A derivada composta de em relação a é:

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