Calcule as derivadas compostas indicadas.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a derivada composta de uma função
, onde
e
. Isso envolve o conteúdo de derivadas compostas e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais são como derivadas normais, mas mantemos uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar as derivadas de
e
em relação a
. Sabemos que:
Passo 4
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas compostas, que nos diz que a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo as derivadas que encontramos:
Agora, substituímos
e
:
Simplificando os termos:
Distribuindo:
Combinando termos semelhantes:
Resposta
A derivada composta de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
Calcule as derivadas parciais indicadas:
e
Determine se cada equação é ou não separável:
A função
satisfaz a. equação diferencial
.
Para quais valores de a função está diminuindo?
Para quais valores de