Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial aqui, que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que precisamos resolver é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação diferencial e depois integrar ambos os lados. Vamos com calma, passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. Observe que o denominador
pode ser fatorado. Vamos fatorar esse polinômio:
Então, nossa equação fica:
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Reescrevemos a equação para ter todos os termos de
de um lado e os de
do outro:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
Primeiro, vamos expandir o produto:
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Integrando o lado direito em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Igualando as duas integrais:
Podemos consolidar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de
. A condição dada é
, ou seja, quando
,
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,
.
Passo 5
Com o valor de
conhecido, a solução particular da equação diferencial é:
Essa é a nossa solução implícita. Para deixar
em função de
, teríamos que resolver essa equação cúbica para
, o que pode ser complicado. Portanto, geralmente, deixamos a solução dessa forma, especialmente quando o foco está no intervalo de validade.
Passo 6
Por fim, precisamos determinar o intervalo de validade da solução do PVI. Isso envolve identificar os valores de
para os quais a solução é válida, ou seja, onde a função
é contínua e diferenciável.
Observando a equação original:
Os pontos onde o denominador é zero, ou seja,
e
, são problemáticos porque causariam divisão por zero. Portanto, a solução é válida para os valores de
onde
não assume esses valores problemáticos.
Considerando a condição inicial
, e assumindo que
varia continuamente a partir desse ponto sem atingir
ou
, o intervalo de validade será em torno de
, até que
se aproxime de algum dos valores que tornam o denominador zero.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
O intervalo de validade dessa solução é o conjunto de valores de
para os quais
não assume os valores
e
, garantindo que a função seja contínua e diferenciável nesse intervalo.
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e
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;
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