Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial aqui, que é basicamente uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação que precisamos resolver é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação diferencial e depois integrar ambos os lados. Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para facilitar a resolução. Observe que o denominador pode ser fatorado. Vamos fatorar esse polinômio:
Então, nossa equação fica:
Agora, vamos separar as variáveis e . Reescrevemos a equação para ter todos os termos de de um lado e os de do outro:

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo em relação a :
Primeiro, vamos expandir o produto:
Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.
Integrando o lado direito em relação a :
Onde é outra constante de integração.
Igualando as duas integrais:
Podemos consolidar as constantes e em uma única constante :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . A condição dada é , ou seja, quando , .
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então, .

Passo 5

Com o valor de conhecido, a solução particular da equação diferencial é:
Essa é a nossa solução implícita. Para deixar em função de , teríamos que resolver essa equação cúbica para , o que pode ser complicado. Portanto, geralmente, deixamos a solução dessa forma, especialmente quando o foco está no intervalo de validade.

Passo 6

Por fim, precisamos determinar o intervalo de validade da solução do PVI. Isso envolve identificar os valores de para os quais a solução é válida, ou seja, onde a função é contínua e diferenciável.
Observando a equação original:
Os pontos onde o denominador é zero, ou seja, e , são problemáticos porque causariam divisão por zero. Portanto, a solução é válida para os valores de onde não assume esses valores problemáticos.
Considerando a condição inicial , e assumindo que varia continuamente a partir desse ponto sem atingir ou , o intervalo de validade será em torno de , até que se aproxime de algum dos valores que tornam o denominador zero.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por
O intervalo de validade dessa solução é o conjunto de valores de para os quais não assume os valores e , garantindo que a função seja contínua e diferenciável nesse intervalo.

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