Calcule as derivadas parciais indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. A função que temos é . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções de várias variáveis, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando . A função é o produto de e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e . Então:

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora vamos encontrar . Novamente, . Nesse caso, é tratado como uma constante quando derivamos em relação a .
Usamos a regra da cadeia para derivar :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Resolva o PVI .
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Calcule as derivadas compostas indicadas. ;