Calcule as derivadas parciais indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. A função que temos é . Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções de várias variáveis, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar encontrando
. A função
é o produto de
e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Aqui,
e .
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de em relação a
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a
é
, e
. Então:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora vamos encontrar
. Novamente, . Nesse caso,
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
.
Usamos a regra da cadeia para derivar :
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine se cada equação é ou não separável:
Resolva o PVI
.
Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
Calcule as derivadas compostas indicadas.
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