Calcule as derivadas parciais indicadas: f(x, y)=x sen(x y), partial fpartial x e partial fpartial y

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. A função que temos é . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções de várias variáveis, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando partialpartial x [u cdot v] = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x . A função é o produto de e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de partial upartial x = 1 em relação a partial vpartial x = cos(x y) cdot partial (x y)partial x = cos(x y) cdot y :
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e . Então:

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora vamos encontrar partial fpartial y = x cdot partial sen(x y)partial y = x cdot cos(x y) cdot partial (x y)partial y = x cdot cos(x y) cdot x = x^2 cos(x y) . Novamente, . Nesse caso, é tratado como uma constante quando derivamos em relação a .
Usamos a regra da cadeia para derivar :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = x y cos(x y) + sen(x y)

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