A função
satisfaz a. equação diferencial
.
Para quais valores de
a função está diminuindo?
Para quais valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem a função
que segue a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de
a função está diminuindo, ou seja, onde
é negativa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e inequações polinomiais.
Passo 2
Primeiro, para saber quando a função está diminuindo, a gente precisa encontrar onde a derivada
é menor que zero. Então, vamos resolver a inequação:
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar essa expressão fatorando o polinômio. Vamos fatorar
:
Passo 4
Continuando a fatoração, o polinômio quadrático
pode ser fatorado em:
Então, a expressão completa fica:
Passo 5
Agora, temos a expressão fatorada:
Vamos analisar os sinais de cada fator em diferentes intervalos de
:
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo × negativo × negativo = positivo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo × negativo × negativo = positivo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é negativo. - Produto: positivo × positivo × negativo = negativo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo × positivo × positivo = positivo.
-
Passo 6
Observando os intervalos, a expressão
é negativa apenas no intervalo onde
. Portanto, é nesse intervalo que
, ou seja, onde a função
está diminuindo.
Resposta
A função
está diminuindo para valores de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Determine se cada equação é ou não separável:
Calcule as derivadas compostas indicadas.
;
Resolva o PVI
.
Se
é uma constante, verifique que
é solução da equação
se
.