A função y(t) satisfaz a. equação diferencial d y/d t = y^4 - 5 y^3 + 6 y^2.
Para quais valores de y a função está diminuindo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem a função que segue a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de a função está diminuindo, ou seja, onde é negativa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e inequações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, para saber quando a função está diminuindo, a gente precisa encontrar onde a derivada é menor que zero. Então, vamos resolver a inequação:

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar essa expressão fatorando o polinômio. Vamos fatorar :

Passo 4

Continuando a fatoração, o polinômio quadrático pode ser fatorado em:
Então, a expressão completa fica:

Passo 5

Agora, temos a expressão fatorada:
Vamos analisar os sinais de cada fator em diferentes intervalos de :
  1. Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo × negativo × negativo = positivo.
  2. Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo × negativo × negativo = positivo.
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo × positivo × negativo = negativo.
  4. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo × positivo × positivo = positivo.

Passo 6

Observando os intervalos, a expressão é negativa apenas no intervalo onde . Portanto, é nesse intervalo que , ou seja, onde a função está diminuindo.

Resposta

A função está diminuindo para valores de no intervalo .

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