Determine se cada equação é ou não separável:
y^4 e^(2 x) + dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a equação é separável. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente sobre Equações Separáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma equação separável e como identificar se uma equação dada pode ser escrita de forma que as variáveis e fiquem em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar . A equação original é:
Subtraindo de ambos os lados, temos:

Passo 3

Agora, uma equação diferencial é separável se conseguimos escrever a equação de uma forma onde todas as expressões envolvendo estão de um lado e todas as que envolvem estão do outro lado, multiplicadas por . Ou seja, queremos chegar em algo como:
Vamos tentar separar as variáveis na nossa equação:
Podemos rearranjar isso para:

Passo 4

Viu só? Conseguimos separar os termos com de um lado e os termos com do outro lado. Especificamente, temos:
Como conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação, isso confirma que a equação é separável.

Resposta

Sim, a equação é uma equação separável.

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