Calcule as derivadas compostas indicadas. g(r, t)=f(x, y)=x^3+x y^2, x=r cos t, y=r sen t, partial gpartial r e partial gpartial t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais compostas e , onde e as variáveis e são funções de e , dadas por e . Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a calcular derivadas quando uma função depende de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial gpartial x = 3x^2 + y^2 em relação a partial gpartial y = 2xy e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial r = cos t e partial xpartial t = -r sen t em relação a partial ypartial r = sen t e partial ypartial t = r cos t .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial gpartial r = partial gpartial x cdot partial xpartial r + partial gpartial y cdot partial ypartial r e partial gpartial r = (3x^2 + y^2) cdot cos t + (2xy) cdot sen t .
partial gpartial t = partial gpartial x cdot partial xpartial t + partial gpartial y cdot partial ypartial t
Substituindo os valores:
Da mesma forma:
partial gpartial t = (3x^2 + y^2) cdot (-r sen t) + (2xy) cdot (r cos t)
Substituindo os valores:

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
e

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