Calcule as derivadas implícitas indicadas: x^2+y^2+z^2-12 x y z^2=0, partial zpartial x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para calcular a derivada parcial de em relação a na equação . Vamos usar o método de derivadas implícitas, que é útil quando está definida de forma implícita por meio de e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, ao calcular uma derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes. Aqui, queremos , então será considerada constante.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é , já que é constante.
  3. Derivada de em relação a é , aplicando a regra da cadeia.
  4. Derivada de em relação a é . Aqui, usamos a regra do produto para derivar e separadamente.

Passo 4

Agora, colocando tudo junto:
2x + 0 + 2z partial zpartial x - 12y z^2 - 24xy z partial zpartial x = 0

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm (2z - 24xy z) partial zpartial x = 12y z^2 - 2x :

Passo 6

Agora, isolamos partial zpartial x = 12y z^2 - 2x2z - 24xy z :

Passo 7

Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por 2:
partial zpartial x = 6y z^2 - xz - 12xy z

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial x = 6y z^2 - xz - 12xy z em relação a é:

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