Calcule as derivadas implícitas indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para calcular a derivada parcial de em relação a na equação . Vamos usar o método de derivadas implícitas, que é útil quando está definida de forma implícita por meio de e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, ao calcular uma derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes. Aqui, queremos , então será considerada constante.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é , já que é constante.
  3. Derivada de em relação a é , aplicando a regra da cadeia.
  4. Derivada de em relação a é . Aqui, usamos a regra do produto para derivar e separadamente.

Passo 4

Agora, colocando tudo junto:

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por 2:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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Calcule as derivadas compostas indicadas. .
Se é uma constante, verifique que é solução da equação se .
Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).