Calcule as derivadas implícitas indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
na equação
. Vamos usar o método de derivadas implícitas, que é útil quando
está definida de forma implícita por meio de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, ao calcular uma derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes. Aqui, queremos
, então
será considerada constante.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é , já que é constante. - Derivada de
em relação a é , aplicando a regra da cadeia. - Derivada de
em relação a é . Aqui, usamos a regra do produto para derivar e separadamente.
Passo 4
Agora, colocando tudo junto:
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por 2:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas compostas indicadas.
.
Se
é uma constante, verifique que
é solução da equação
se
.
Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).