Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa descobrir onde ela tem máximos e mínimos usando os testes de primeira e segunda derivadas. A matéria aqui é cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais. Vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e analisar a curvatura nesses pontos para classificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa achar os valores de e onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos igualar cada uma a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2), isolamos :
Substituindo na equação (1):
Agora, usando para achar :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas implícitas indicadas:
Calcule as derivadas compostas indicadas. .
Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
pt) Calcule os limites: