Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa descobrir onde ela tem máximos e mínimos usando os testes de primeira e segunda derivadas. A matéria aqui é cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais. Vamos precisar encontrar os pontos críticos da função e analisar a curvatura nesses pontos para classificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa achar os valores de
e
onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos igualar cada uma a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2), isolamos :
Da equação (2), isolamos
Substituindo
na equação (1):
Agora, usando
para achar
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas implícitas indicadas:
Calcule as derivadas compostas indicadas.
.
Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).