Resolva o PVI d/dx y = y^2, y(1) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta um Problema de Valor Inicial (PVI) onde temos a equação diferencial e a condição inicial . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis da equação diferencial. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x do outro. Começamos assim:
Dividindo ambos os lados por y^2 e multiplicando por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções antiderivadas que, quando derivadas, nos dão de volta as expressões originais.
Integramos o lado esquerdo em relação a y e o lado direito em relação a x:

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, juntando as duas partes:

Passo 5

Agora, vamos resolver para y isolando-o na equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos renomear como uma nova constante :
Agora, invertendo ambos os lados para resolver para y:

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante . Substituímos x = 1 e na equação:
Resolvendo para :

Passo 7

Com o valor de , podemos escrever a solução completa da equação diferencial:

Resposta

A solução do PVI é .

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