Resolva o PVI
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta um Problema de Valor Inicial (PVI) onde temos a equação diferencial
e a condição inicial
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis da equação diferencial. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Começamos assim:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções antiderivadas que, quando derivadas, nos dão de volta as expressões originais.
Integramos o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, juntando as duas partes:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
isolando-o na equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Agora, invertendo ambos os lados para resolver para
:
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituímos
e
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com o valor de
, podemos escrever a solução completa da equação diferencial:
Resposta
A solução do PVI é
.
Exercícios relacionados
A função
satisfaz a. equação diferencial
.
Para quais valores de a função está diminuindo?
Para quais valores de
Determine se cada equação é ou não separável:
Se
é uma constante, verifique que
é solução da equação
se
.
Calcule as derivadas compostas indicadas.
.