Calcule as derivadas
e
, considerando
como função de
e também
como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular as derivadas
e
, considerando
como função de
e
como função de
. A equação que temos é:
Então, vamos usar o conceito de derivadas implícitas para resolver isso. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação respeitando as variáveis que estamos tratando como funções umas das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Aqui, tratamos
como uma função de
. Para fazer isso, vamos derivar cada termo da equação em relação a
.
Derivando
em relação a
, usamos a regra do produto:
Derivando
em relação a
:
E a derivada de uma constante, que é 3, é zero:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Primeiro, vamos colocar os termos que contém
de um lado:
Agora, basta dividir ambos os lados por
:
Podemos simplificar fatorando o denominador:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Desta vez, tratamos
como uma função de
. Vamos derivar a equação original em relação a
.
Derivando
em relação a
, usamos a regra do produto novamente:
Derivando
em relação a
:
E a derivada de uma constante, que é 3, é zero:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Vamos isolar
. Primeiro, movemos os termos sem
para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Podemos simplificar:
Resposta
As derivadas são:
e