Calcule as derivadas d/y d/x e dx/dy, considerando y como função de x e também x como função de y.
xy^2 + 2y = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular as derivadas d/y d/x e dx/dy, considerando y como função de x e x como função de y. A equação que temos é:
Então, vamos usar o conceito de derivadas implícitas para resolver isso. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação respeitando as variáveis que estamos tratando como funções umas das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar d/y d/x. Aqui, tratamos y como uma função de x. Para fazer isso, vamos derivar cada termo da equação em relação a x.
Derivando x y^2 em relação a x, usamos a regra do produto:
Derivando em relação a x:
E a derivada de uma constante, que é 3, é zero:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos isolar d/y d/x. Primeiro, vamos colocar os termos que contém d/y d/x de um lado:
Agora, basta dividir ambos os lados por :
Podemos simplificar fatorando o denominador:

Passo 4

Agora, vamos calcular dx/dy. Desta vez, tratamos x como uma função de y. Vamos derivar a equação original em relação a y.
Derivando x y^2 em relação a y, usamos a regra do produto novamente:
Derivando em relação a y:
E a derivada de uma constante, que é 3, é zero:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Vamos isolar dx/dy. Primeiro, movemos os termos sem dx/dy para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por y^2:
Podemos simplificar:

Resposta

As derivadas são:
e

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