Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente as equações lineares de equidimensional. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular que satisfaça a equação completa. Depois disso, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem e equidimensional, porque os coeficientes de
,
e
são funções de
que seguem potências de
.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver equações equidimensionais, usamos a substituição
. Vamos encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 4
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituímos essas na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
:
Primeiro, calculamos
:
Passo 11
Aplicando
:
Simplificando:
Multiplicando por 64 para eliminar as frações:
Passo 12
Aplicando
:
Simplificando:
Multiplicando por 16 para eliminar as frações:
Passo 13
Agora, temos o sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 14
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: