Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
lx^2 y^prime prime-5 x y^prime+8 y=8 x^6 y(12)=0, y^prime(12)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente as equações lineares de equidimensional. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular que satisfaça a equação completa. Depois disso, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
x^2 y'' -5x y' +8 y =8x^6
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem e equidimensional, porque os coeficientes de , e são funções de que seguem potências de .

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada:
x^2 y'' -5x y' +8 y =0
Para resolver equações equidimensionais, usamos a substituição . Vamos encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 4

Assumindo y' = m x^m-1 , calculamos as derivadas:
y'' = m(m-1) x^m-2
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 -5x cdot m x^m-1 +8 x^m =0
Substituímos essas na equação homogênea:
m(m-1)x^m -5m x^m +8 x^m =0
Simplificando:
x^m [m(m-1) -5m +8 ] =0
Fatorando m^2 -m -5m +8 =0 :
m^2 -6m +8 =0
Como nunca é zero, temos:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para m^2 -6m +8 =0 :
m = 6 pm raiz(-6)^2 -4 cdot 1 cdot 82 = 6 pm raiz36 -322 = 6 pm raiz42 = 6 pm 22
Usamos a fórmula de Bhaskara:
m1 = 6 + 22 =4 e m2 = 6 - 22 =2
Portanto, as raízes são:

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^4 + C2 x^2
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular x^2 y'' -5x y' +8 y =8x^6 para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 8

Calculamos as derivadas de yp' = 6A x^5 :
yp'' = 30A x^4
x^2 cdot 30A x^4 -5x cdot 6A x^5 +8 A x^6 =8x^6
Substituímos na equação:
30A x^6 -30A x^6 +8A x^6 =8x^6
Simplificando:
8A x^6 =8x^6
8A =8 implies A=1
Dividindo ambos os lados por yp = x^6 :
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 x^4 + C2 x^2 + x^6

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes y(12) =0 e y'(12) =0 e y' = 4C1 x^3 + 2C2 x +6x^5 :
Primeiro, calculamos :

Passo 11

Aplicando C1 (12)^4 + C2 (12)^2 + (12)^6 =0 :
C1 cdot 116 + C2 cdot 14 + 164 =0 Rightarrow C116 + C24 = -164
Simplificando:
4C1 + 16C2 = -1 (Equação 1)
Multiplicando por 64 para eliminar as frações:
çã

Passo 12

Aplicando 4C1 (12)^3 + 2C2 (12) +6 (12)^5 =0 :
4C1 cdot 18 + 2C2 cdot 12 +6 cdot 132 =0 Rightarrow C12 + C2 + 316 =0
Simplificando:
8C1 + 16C2 +3 =0 Rightarrow 8C1 +16C2 = -3 (Equação 2)
Multiplicando por 16 para eliminar as frações:
çã

Passo 13

Agora, temos o sistema de equações:
4C1 +16C2 =-1 (Equação 1) 8C1 +16C2 =-3 (Equação 2) çãçã
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(8C1 -4C1) + (16C2 -16C2) = -3 -(-1) implies 4C1 = -2 implies C1 = -12

Passo 14

Substituindo 4 (-12) +16C2 =-1 implies -2 +16C2 =-1 implies 16C2 =1 implies C2 =116 na Equação 1:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = -12 , x^4 + 116 , x^2 + x^6

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