Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é
com as condições
e
. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver
. Essa é uma equação diferencial de Euler (ou equação equidimensional), que tem a forma geral
. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Isso dá a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados. Suponhamos que a solução particular tenha a forma
. Precisamos determinar o valor de
.
Passo 6
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
e simplificando:
Igualando os coeficientes de potências iguais de
:
Para o termo
, escolhemos
:
Simplificando:
Para que os termos de maior grau desapareçam, ajustamos a nossa hipótese e consideramos multiplicar por
a forma inicial, eventualmente ajustando para evitar soluções da parte homogênea.
Após ajustes, encontramos que a solução particular é:
Passo 7
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Segundo, calculamos
:
Aplicando
:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo 3 vezes a segunda equação da primeira:
Substituindo em
:
Resposta
A solução do problema é: