Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
{x^2 y'' - 3 x y' + 3 y = 2 x^4 e^x, y(1) = 1, y'(-1) = -2 e^{-1}}

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é com as condições e . Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver . Essa é uma equação diferencial de Euler (ou equação equidimensional), que tem a forma geral . Para resolver, assumimos uma solução do tipo .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando :
Isso dá a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Então, a solução geral da parte homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o método de coeficientes indeterminados. Suponhamos que a solução particular tenha a forma . Precisamos determinar o valor de .

Passo 6

Assumindo , calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por e simplificando:
Igualando os coeficientes de potências iguais de :
Para o termo , escolhemos :
Simplificando:
Para que os termos de maior grau desapareçam, ajustamos a nossa hipótese e consideramos multiplicar por a forma inicial, eventualmente ajustando para evitar soluções da parte homogênea.
Após ajustes, encontramos que a solução particular é:

Passo 7

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Segundo, calculamos :
Aplicando :
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo 3 vezes a segunda equação da primeira:
Substituindo em :

Resposta

A solução do problema é:

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