Nos problemas de 7 a 12 utilize o método de Frobenius para determinar duas soluções em série centrada em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema juntos! A gente tem a equação diferencial:
E o desafio é usar o método de Frobenius para encontrar duas soluções em série centradas em
. Esse método é super útil quando a equação tem um ponto singular, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a aplicação do método de Frobenius. Dividindo tudo por
, temos:
Perceba que quando
se aproxima de 0, os coeficientes
e
indicam que
é um ponto singular. Por isso, o método de Frobenius é a escolha certa para encontrar soluções em série ao redor desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências com um expoente desconhecido
:
Aqui,
são os coeficientes da série que precisamos descobrir, e
é o que chamamos de exponente indicial. Nosso objetivo é encontrar
e os
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero para satisfazer a equação. Primeiro, focamos no menor expoente de
, que ocorre quando
:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser zeros:
E
Isso nos dá a equação indicial:
Então, temos dois valores possíveis para
: 0 e 1.
Passo 6
Vamos agora encontrar a relação de recorrência para os coeficientes
. Para
, igualamos os coeficientes das mesmas potências de
:
Simplificando:
Assim, a relação de recorrência é:
Resposta
Usando o método de Frobenius, encontramos duas soluções em série centradas em
:
- Para
:
- Para
:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais do problema.