Nos problemas de 7 a 12 utilize o método de Frobenius para determinar duas soluções em série centrada em x0 = 0.
x y'' + 2 y' + x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema juntos! A gente tem a equação diferencial:
E o desafio é usar o método de Frobenius para encontrar duas soluções em série centradas em . Esse método é super útil quando a equação tem um ponto singular, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a aplicação do método de Frobenius. Dividindo tudo por , temos:
Perceba que quando se aproxima de 0, os coeficientes e indicam que é um ponto singular. Por isso, o método de Frobenius é a escolha certa para encontrar soluções em série ao redor desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências com um expoente desconhecido :
Aqui, são os coeficientes da série que precisamos descobrir, e é o que chamamos de exponente indicial. Nosso objetivo é encontrar e os .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes de cada potência de a zero para satisfazer a equação. Primeiro, focamos no menor expoente de , que ocorre quando :
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser zeros:
E
Isso nos dá a equação indicial:
Então, temos dois valores possíveis para : 0 e 1.

Passo 6

Vamos agora encontrar a relação de recorrência para os coeficientes . Para , igualamos os coeficientes das mesmas potências de :
Simplificando:
Assim, a relação de recorrência é:

Resposta

Usando o método de Frobenius, encontramos duas soluções em série centradas em :
  1. Para :
  1. Para :
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais do problema.

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