Nos problemas de 1 a 6 determine e classifique os pontos singulares da equação diferencial dada.
y'' - 1/x * y' + 1/(1+x)^3 * y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e classificar os pontos singulares da equação diferencial dada:
Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos identificar onde os coeficientes da equação podem causar problemas, ou seja, onde eles não são bem definidos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a equação dada, temos:

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde os coeficientes e não são analíticos, ou seja, onde eles não são definidos ou têm descontinuidades. Esses pontos são candidatos a pontos singulares.
  • Para , o denominador é zero quando .
  • Para , o denominador é zero quando , ou seja, .
Então, os possíveis pontos singulares são e .

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto singular como regular ou irregular. Para isso, usamos os seguintes critérios:
Um ponto singular é regular se as funções e são analíticas em . Caso contrário, é irregular.
Vamos verificar para cada ponto:
Para :
  • , que é analítico.
  • , que também é analítico em .
Então, é um ponto regular.
Para :
  • , que não é analítico em porque o denominador se torna , mas isso não impede a analiticidade aqui.
  • , que não é analítico em porque o denominador se anula.
Como pelo menos uma das funções não é analítica, é um ponto irregular.

Resposta

Os pontos singulares da equação são (regular) e (irregular).

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