Calcule as derivadas d/y d/x e dx/dy, considerando y como função de x e também x como função de y.
x^2 + y^2 + 2y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas! A gente tem a equação e precisamos encontrar as derivadas e . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que ajuda quando está ligada a numa equação como essa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , ou seja, a derivada de em relação a . Como é função de , usamos a derivação implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a , tratando como .

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  3. Derivada de em relação a é .
  4. Derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, vamos encontrar , ou seja, a derivada de em relação a . Podemos usar a relação entre as derivadas:

Resposta

As derivadas são:

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