Calcule as derivadas e , considerando como função de e também como função de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a equação e precisa encontrar as derivadas e . Isso envolve o conteúdo de derivadas implícitas, onde uma variável depende da outra. Pra isso, vamos precisar usar as regras de diferenciação e resolver a equação para a derivada que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Como é função de , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Diferenciando em relação a , usamos a regra do produto:
Aqui, a primeira parte vem da derivada de multiplicada por , e a segunda parte vem da derivada de em relação a , usando a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, diferenciamos em relação a :
Aqui, usamos novamente a regra do produto: a derivada de é 1 multiplicada por , mais multiplicada pela derivada de .

Passo 5

Diferenciando o lado direito da equação, temos:
Pois a derivada de uma constante é zero.

Passo 6

Juntando tudo, a equação diferenciada fica:

Passo 7

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 8

Agora, isolamos :

Passo 9

Agora, vamos encontrar . Para isso, tratamos como função de e diferenciamos a equação original em relação a .

Passo 10

Diferenciando em relação a :
Aqui, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 11

Diferenciando em relação a :

Passo 12

Diferenciando o lado direito da equação:

Passo 13

Juntando tudo, a equação diferenciada fica:

Passo 14

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 15

Isolando :

Resposta

As derivadas são:
e

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