Calcule as derivadas
e
, considerando
como função de
e também
como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a equação
e precisa encontrar as derivadas
e
. Isso envolve o conteúdo de derivadas implícitas, onde uma variável depende da outra. Pra isso, vamos precisar usar as regras de diferenciação e resolver a equação para a derivada que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Como
é função de
, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
, usamos a regra do produto:
Aqui, a primeira parte
vem da derivada de
multiplicada por
, e a segunda parte
vem da derivada de
em relação a
, usando a regra da cadeia.
Passo 4
Agora, diferenciamos
em relação a
:
Aqui, usamos novamente a regra do produto: a derivada de
é 1 multiplicada por
, mais
multiplicada pela derivada de
.
Passo 5
Diferenciando o lado direito da equação, temos:
Pois a derivada de uma constante é zero.
Passo 6
Juntando tudo, a equação diferenciada fica:
Passo 7
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Passo 9
Agora, vamos encontrar
. Para isso, tratamos
como função de
e diferenciamos a equação original em relação a
.
Passo 10
Diferenciando
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 11
Diferenciando
em relação a
:
Passo 12
Diferenciando o lado direito da equação:
Passo 13
Juntando tudo, a equação diferenciada fica:
Passo 14
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 15
Isolando
:
Resposta
As derivadas são:
e