Um trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de . Após quanto tempo o valor do trator será de ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um trator que foi comprado por R$ 45.000,00 e seu valor está depreciando a uma taxa de 10% ao ano. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo o valor desse trator vai cair para R$ 25.000,00. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de depreciação exponencial, que nos ajuda a calcular a redução do valor de um bem ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a depreciação exponencial. A fórmula geral é:
onde:
  • é o valor após o tempo ,
  • é o valor inicial,
  • é a taxa de depreciação,
  • é o tempo em anos.
No nosso caso:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, dividimos ambos os lados por 45.000:

Passo 5

Para resolver para , usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos :

Passo 6

Isolando :
Calculando os valores:

Resposta

Após aproximadamente 5,59 anos, o valor do trator será de R$ 25.000,00.

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