Um trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de
a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de
. Após quanto tempo o valor do trator será de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um trator que foi comprado por R$ 45.000,00 e seu valor está depreciando a uma taxa de 10% ao ano. Nosso objetivo é descobrir em quanto tempo o valor desse trator vai cair para R$ 25.000,00. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de depreciação exponencial, que nos ajuda a calcular a redução do valor de um bem ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a depreciação exponencial. A fórmula geral é:
onde:
-
é o valor após o tempo , -
é o valor inicial, -
é a taxa de depreciação, -
é o tempo em anos.
No nosso caso:
-
, -
, -
.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 45.000:
Passo 5
Para resolver para
, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
:
Passo 6
Isolando
:
Calculando os valores:
Resposta
Após aproximadamente 5,59 anos, o valor do trator será de R$ 25.000,00.
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.
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definida para
e tendo as propriedades:
e
(para todo
).
Calcule as derivadas
e
, considerando
como função de
e também
como função de
.