Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. Esboce o gráfico de uma função f(x) definida para x > 0 e tendo as propriedades: f(1) = 0 e f'(x) = 1/x (para todo x > 0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função que está definida para . Sabemos que e que a derivada de , ou seja, , é igual a para todo . O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente o uso da primeira derivada para analisar o comportamento da função, como intervalos de crescimento e decrescimento, e identificar possíveis valores máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função a partir da sua derivada . Para isso, vamos integrar .
Como , podemos simplificar para:
Agora, usamos a condição para encontrar a constante :
Então, a função fica:

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função usando a primeira derivada. Sabemos que:
Como , é sempre positivo. Isso significa que a função está sempre crescendo no seu domínio.

Passo 4

Com a função sempre aumentando e a derivada nunca sendo zero, não temos pontos onde a inclinação muda de positiva para negativa ou vice-versa. Portanto, não existem valores máximos ou mínimos locais para no domínio considerado.

Resposta

A função está definida para e está sempre crescendo nesse intervalo. Não possui valores máximos ou mínimos locais. O gráfico é uma curva crescente que passa pelo ponto .

Gráfico

Para esboçar o gráfico:
  1. Ponto inicial: Sabemos que , então marcamos o ponto (1, 0).
  2. Crescimento constante: A função cresce sem limites à medida que aumenta.
  3. Assíntota vertical: À medida que se aproxima de 0, tende a , mostrando uma assíntota vertical no eixo .
Gráfico de f(x) = ln(x)
(Imagem ilustrativa de )

Resumo

  • Função:
  • Dominio:
  • Crescimento: Sempre crescente
  • Extremos: Não possui máximos ou mínimos locais
  • Ponto conhecido:
Essa é a análise completa da função usando a primeira derivada!

Exercícios relacionados