Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. Esboce o gráfico de uma função
definida para
e tendo as propriedades:
e
(para todo
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
que está definida para
. Sabemos que
e que a derivada de
, ou seja,
, é igual a
para todo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente o uso da primeira derivada para analisar o comportamento da função, como intervalos de crescimento e decrescimento, e identificar possíveis valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função
a partir da sua derivada
. Para isso, vamos integrar
.
Como
, podemos simplificar para:
Agora, usamos a condição
para encontrar a constante
:
Então, a função fica:
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função usando a primeira derivada. Sabemos que:
Como
,
é sempre positivo. Isso significa que a função está sempre crescendo no seu domínio.
Passo 4
Com a função sempre aumentando e a derivada nunca sendo zero, não temos pontos onde a inclinação muda de positiva para negativa ou vice-versa. Portanto, não existem valores máximos ou mínimos locais para
no domínio considerado.
Resposta
A função
está definida para
e está sempre crescendo nesse intervalo. Não possui valores máximos ou mínimos locais. O gráfico é uma curva crescente que passa pelo ponto
.
Gráfico
Para esboçar o gráfico:
- Ponto inicial: Sabemos que
, então marcamos o ponto (1, 0). - Crescimento constante: A função cresce sem limites à medida que
aumenta. - Assíntota vertical: À medida que
se aproxima de 0, tende a , mostrando uma assíntota vertical no eixo .

(Imagem ilustrativa de
)
Resumo
- Função:
- Dominio:
- Crescimento: Sempre crescente
- Extremos: Não possui máximos ou mínimos locais
- Ponto conhecido:
Essa é a análise completa da função usando a primeira derivada!