Calcule as derivadas: (d) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , que chamamos de . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar a segunda derivada parcial .
Aqui, é constante, então:

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , chamada de . Agora, tratamos como constante.
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Derivamos novamente em relação a para obter a segunda derivada parcial .
Como é constante:

Passo 6

Por fim, vamos calcular as derivadas mistas e . Começando com , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Como as derivadas mistas são iguais ( ), não precisamos calcular separadamente.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva). é o triângulo de vértices e .
Usando o Teorema de Green calcule: , é a curva , percorrida do ponto para .
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (e) Seja e e . Calcule e usando a regra da cadeia.
Calcule as derivadas: © Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de .