Calcule as derivadas: (d) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e entender como derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, que chamamos de
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar a segunda derivada parcial
.
Aqui,
é constante, então:
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, chamada de
. Agora, tratamos
como constante.
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Derivamos
novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial
.
Como
é constante:
Passo 6
Por fim, vamos calcular as derivadas mistas
e
. Começando com
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Como as derivadas mistas são iguais (
), não precisamos calcular
separadamente.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: