Usando o Teorema de Green calcule: integralC x d x+y d yx^2+y^2, C é a curva y=x^2-1,-1 <= x <= 2, percorrida do ponto (-1,0) para (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a curva dada por no intervalo de até , passando dos pontos para . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Para isso, vamos precisar identificar as componentes do campo vetorial e calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes P = xx^2 + y^2, Q = yx^2 + y^2 e ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA do campo vetorial da integral:
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região delimitada pela curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( yx^2 + y^2 ) = 0 cdot (x^2 + y^2) - y cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = 0 cdot (x^2 + y^2) - x cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, aplicando essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2 - ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) = 0

Passo 5

Como a expressão dentro da integral dupla é zero, temos:
integral duplaD 0 , dA = 0
Logo, pelo Teorema de Green:
ointC x , dx + y , dyx^2 + y^2 = 0

Resposta

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