Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (e) Seja z=f(x, y)=x^2 y+sin (y) e x=u(t, s)=t^2+s e y=v(t, s)=cos (t)+s. Calcule partial zpartial t e partial zpartial s usando a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais e usando a regra da cadeia. Aqui, é uma função de e , que por sua vez são funções de e . Então, vamos precisar usar a Regra da Cadeia para Funções de Várias Variáveis para relacionar todas essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular z = f(x, y) = x^2 y + sin(y) .
A função dada é:
x = u(t, s) = t^2 + s
E temos:
y = v(t, s) = cos(t) + s
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
A Regra da Cadeia para partial zpartial x = 2x y diz que:
partial xpartial t = 2t
Vamos calcular cada termo:
  1. Calculando partial zpartial y = x^2 + cos(y) :
partial ypartial t = -sin(t)
Aqui, derivamos partial zpartial t = (2x y) cdot (2t) + (x^2 + cos(y)) cdot (-sin(t)) em relação a mantendo constante.
  1. Calculando :
Derivamos em relação a , já que é tratado como constante.
  1. Calculando :
Derivamos em relação a .
  1. Calculando :
Derivamos em relação a .
Agora, substituindo tudo na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s .
Usando a mesma Regra da Cadeia:
partial xpartial s = 1
Vamos calcular cada termo:
  1. Calculando partial ypartial s = 1 :
partial zpartial s = (2x y) cdot 1 + (x^2 + cos(y)) cdot 1 = 2x y + x^2 + cos(y)
Derivamos em relação a .
  1. Calculando :
Derivamos em relação a .
Agora, substituindo na fórmula:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial t = 4x y cdot t + (x^2 + cos(y)) cdot (-sin(t))
partial zpartial s = 2x y + x^2 + cos(y)

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