Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (e) Seja e e . Calcule e usando a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais e usando a regra da cadeia. Aqui, é uma função de e , que por sua vez são funções de e . Então, vamos precisar usar a Regra da Cadeia para Funções de Várias Variáveis para relacionar todas essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular .
A função dada é:
E temos:
A Regra da Cadeia para diz que:
Vamos calcular cada termo:
  1. Calculando :
Aqui, derivamos em relação a mantendo constante.
  1. Calculando :
Derivamos em relação a , já que é tratado como constante.
  1. Calculando :
Derivamos em relação a .
  1. Calculando :
Derivamos em relação a .
Agora, substituindo tudo na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular .
Usando a mesma Regra da Cadeia:
Vamos calcular cada termo:
  1. Calculando :
Derivamos em relação a .
  1. Calculando :
Derivamos em relação a .
Agora, substituindo na fórmula:

Resposta

As derivadas parciais são:

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