Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (e) Seja
e
e
. Calcule
e
usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais
e
usando a regra da cadeia. Aqui,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
e
. Então, vamos precisar usar a Regra da Cadeia para Funções de Várias Variáveis para relacionar todas essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
.
A função dada é:
E temos:
A Regra da Cadeia para
diz que:
Vamos calcular cada termo:
- Calculando
:
Aqui, derivamos
em relação a
mantendo
constante.
- Calculando
:
Derivamos
em relação a
, já que
é tratado como constante.
- Calculando
:
Derivamos
em relação a
.
- Calculando
:
Derivamos
em relação a
.
Agora, substituindo tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Usando a mesma Regra da Cadeia:
Vamos calcular cada termo:
- Calculando
:
Derivamos
em relação a
.
- Calculando
:
Derivamos
em relação a
.
Agora, substituindo na fórmula:
Resposta
As derivadas parciais são: