Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva). integralC x y d x+x^3 y^3 d y, C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é integralC x y d x +x^3 y^3 d y, e a curva C é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,2). O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada C com orientação positiva (sentido anti-horário), a integral de linha ointC P dx + Q dy pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região D limitada por C:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = x y e Q = x^3 y^3.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 y^3) = 3x^2 y^3
Depois, a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y (x y) = x

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos que a integral dupla será:
integral duplaD ( 3x^2 y^3 - x ) dA
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,2).

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo, para x variando de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 até a linha que liga (1,0) a (1,2), que é simplesmente y de 0 a 2 (já que x=1 fixa y).
Então, os limites são:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 2x
Porque a linha que liga (0,0) a (1,2) tem equação y=2x.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla:
integral0^1 integral0^2x ( 3x^2 y^3 - x ) dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a y:
integral0^2x ( 3x^2 y^3 - x ) dy = 3x^2 [ y^44 ]0^2x - x [ y ]0^2x = 3x^2 ( (2x)^44 ) - x (2x) = 3x^2 ( 16x^44 ) - 2x^2 = 3x^2 cdot 4x^4 - 2x^2 = 12x^6 - 2x^2

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral0^1 (12x^6 - 2x^2) dx = 12 [ x^77 ]0^1 - 2 [ x^33 ]0^1 = 12 cdot 17 - 2 cdot 13 = 127 - 23
Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum, que é 21:
127 = 3621, 23 = 1421
Então:
3621 - 1421 = 2221

Resposta

A integral de linha vale dfrac2221.

Exercícios relacionados