Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva). é o triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é , e a curva é um triângulo com vértices em , e . O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada com orientação positiva (sentido anti-horário), a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Depois, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos que a integral dupla será:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices em , e .

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo, para variando de a , e para cada , varia de até a linha que liga a , que é simplesmente de a (já que fixa ).
Então, os limites são:
Porque a linha que liga a tem equação .

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :
Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum, que é :
Então:

Resposta

A integral de linha vale .

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Usando o Teorema de Green calcule: , é a curva , percorrida do ponto para .
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Calcule as derivadas: (d) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (e) Seja e e . Calcule e usando a regra da cadeia.