Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é
, e a curva
é um triângulo com vértices em
,
e
. O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
com orientação positiva (sentido anti-horário), a integral de linha
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
limitada por
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Depois, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos que a integral dupla será:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo, para
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até a linha que liga
a
, que é simplesmente
de
a
(já que
fixa
).
Então, os limites são:
Porque a linha que liga
a
tem equação
.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum, que é
:
Então:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Usando o Teorema de Green calcule:
,
é a curva
, percorrida do ponto
para
.
Calcule a integral indefinida.
Calcule as derivadas: (d) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Calcule as derivadas usando as regras da cadeia: (e) Seja
e
e
. Calcule
e
usando a regra da cadeia.