Calcule as derivadas d/y d/x e dx/dy, considerando y como função de x e também x como função de y. x * e^(y) + x * y = 3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação , onde é uma função de e também é uma função de . Precisamos calcular as derivadas e . Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que nos permite encontrar derivadas quando as funções estão definidas de forma implícita por uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .
A equação dada é:

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto para cada termo que envolve e .
Diferenciando em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto onde derivamos (que dá 1) e mantemos , mais vezes a derivada de , que é .
Diferenciando em relação a :
Novamente, aplicamos a regra do produto: derivada de é 1 multiplicada por , mais vezes a derivada de .

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos e igualamos à derivada do lado direito da equação, que é 0 (já que a derivada de uma constante é zero):

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Passo 7

Agora, vamos calcular . Podemos usar a relação entre as derivadas reciprocamente:
Substituindo o valor que encontramos:

Resposta

A derivada é:
E a derivada é:

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