Calcule as derivadas
e
, considerando
como função de
e também
como função de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
, onde
é uma função de
e também
é uma função de
. Precisamos calcular as derivadas
e
. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que nos permite encontrar derivadas quando as funções estão definidas de forma implícita por uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
A equação dada é:
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto para cada termo que envolve
e
.
Diferenciando
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto onde derivamos
(que dá 1) e mantemos
, mais
vezes a derivada de
, que é
.
Diferenciando
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra do produto: derivada de
é 1 multiplicada por
, mais
vezes a derivada de
.
Passo 4
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos e igualamos à derivada do lado direito da equação, que é 0 (já que a derivada de uma constante é zero):
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Podemos usar a relação entre as derivadas reciprocamente:
Substituindo o valor que encontramos:
Resposta
A derivada
é:
E a derivada
é: