Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para fazermos o gráfico da função definida por partes
, identificar onde ela está crescendo ou decrescendo e também determinar o conjunto imagem. A matéria que vamos usar aqui envolve funções definidas por partes, análise de crescimento e decrescimento, e determinação do conjunto imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
:
Isso significa que para valores de
menores que 0, usamos
, e para
maiores ou iguais a 0, usamos
.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função separadamente.
Para
:
A função é
. Sabemos que essa é uma hipérbole com duas ramificações. Como estamos considerando apenas
, teremos a ramificação que está no segundo quadrante (onde
é negativo e
também é negativo).
Para
:
A função é
, que é uma reta passando pela origem com inclinação 1.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde cada parte das funções está crescendo ou decrescendo.
Para
:
A derivada de
é
. Como
é sempre positivo,
é sempre negativo. Isso significa que a função
está sempre decrescendo nesse intervalo.
Para
:
A derivada de
é 1, que é positiva. Portanto, a função
está sempre crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Vamos agora determinar o conjunto imagem da função
.
Para
:
Como
se aproxima de 0 pela esquerda,
tende a
. Quando
se afasta de 0 (toma valores mais negativos),
se aproxima de 0 pela negativa. Portanto, os valores de
nesse intervalo vão de
a 0 (não incluindo 0).
Para
:
A função
começa em 0 e cresce sem limite à medida que
aumenta. Portanto, os valores de
nesse intervalo vão de 0 a
.
Conjunto imagem:
União dos dois intervalos acima:
. Ou seja, todo número real é imagem da função
.
Resposta
A função
é definida por:
Gráfico:
- Para
, temos uma hipérbole decrescente no segundo quadrante. - Para
, temos uma reta crescente que passa pela origem.
Crescimento e Decrescimento:
-
é decrescente no intervalo . -
é crescente no intervalo .
Conjunto Imagem:
O conjunto imagem de é
, ou seja, todos os números reais.
O conjunto imagem de
Exercícios relacionados
Num concurso público para Professor do Ensino - Primário, foram inscritos 2500 candidatos. O único critério de eliminação era nota inferior a 3,0 na prova de Matemática ou na prova de Português. Após a apuração dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em Matemática e 210 em Português. Pergunta-se:
Quantos candidatos foram eliminados apenas na prova de Matemática?
Quantos candidatos foram eliminados apenas na prova de Matemática?
Calcule as derivadas.
Calcule as derivadas
e
, considerando
como função de
e também
como função de
.
Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. Qual é o custo da lata se o raio da base é de 2 cm?