Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
g(x) = { 1/x, x < 0; x, x ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para fazermos o gráfico da função definida por partes , identificar onde ela está crescendo ou decrescendo e também determinar o conjunto imagem. A matéria que vamos usar aqui envolve funções definidas por partes, análise de crescimento e decrescimento, e determinação do conjunto imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de :
Isso significa que para valores de menores que 0, usamos , e para maiores ou iguais a 0, usamos .

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função separadamente.
Para :
A função é . Sabemos que essa é uma hipérbole com duas ramificações. Como estamos considerando apenas , teremos a ramificação que está no segundo quadrante (onde é negativo e também é negativo).
Para :
A função é , que é uma reta passando pela origem com inclinação 1.

Passo 4

Agora, vamos determinar onde cada parte das funções está crescendo ou decrescendo.
Para :
A derivada de é . Como é sempre positivo, é sempre negativo. Isso significa que a função está sempre decrescendo nesse intervalo.
Para :
A derivada de é 1, que é positiva. Portanto, a função está sempre crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Vamos agora determinar o conjunto imagem da função .
Para :
Como se aproxima de 0 pela esquerda, tende a . Quando se afasta de 0 (toma valores mais negativos), se aproxima de 0 pela negativa. Portanto, os valores de nesse intervalo vão de a 0 (não incluindo 0).
Para :
A função começa em 0 e cresce sem limite à medida que aumenta. Portanto, os valores de nesse intervalo vão de 0 a .
Conjunto imagem:
União dos dois intervalos acima: . Ou seja, todo número real é imagem da função .

Resposta

A função é definida por:
Gráfico:
  • Para , temos uma hipérbole decrescente no segundo quadrante.
  • Para , temos uma reta crescente que passa pela origem.
Crescimento e Decrescimento:
  • é decrescente no intervalo .
  • é crescente no intervalo .
Conjunto Imagem:
O conjunto imagem de é , ou seja, todos os números reais.

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