Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
Exercício retificado

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para calcular as áreas das regiões planas que são delimitadas pelas duas equações:
Isso está no conteúdo de geometria analítica, especialmente envolvendo áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se intersectam e, em seguida, calcular a área entre elas usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações e resolvemos para .
Temos:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Fatorando:
Então, ou .
Agora, substituímos esses valores de na equação (2) para encontrar :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos identificar qual das curvas está acima da outra entre esses pontos para configurar corretamente a integral.
Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, , e calcular para cada equação:
  • Para a primeira equação :
  • Para a segunda equação :
Aqui, , então a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções que estão acima e abaixo, no intervalo de integração.
Então, a área é:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:

Resposta

A área das regiões planas delimitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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