Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
Exercício retificado
Exercício retificado
Passo 1
Beleza, então o exercício pede para calcular as áreas das regiões planas que são delimitadas pelas duas equações:
Isso está no conteúdo de geometria analítica, especialmente envolvendo áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se intersectam e, em seguida, calcular a área entre elas usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações e resolvemos para
.
Temos:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Fatorando:
Então,
ou
.
Agora, substituímos esses valores de
na equação (2) para encontrar
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos identificar qual das curvas está acima da outra entre esses pontos para configurar corretamente a integral.
Vamos escolher um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
, e calcular
para cada equação:
- Para a primeira equação
:
- Para a segunda equação
:
Aqui,
, então a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções que estão acima e abaixo, no intervalo de integração.
Então, a área
é:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:
Resposta
A área das regiões planas delimitadas pelas curvas é
unidades quadradas.
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