Calcule as derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de uma integral que vai de até 3 da função . Isso envolve cálculo diferencial e integral, especificamente a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis. Então, vamos precisar entender como derivar uma integral quando os limites dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante chamada Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1. Ele diz que se tivermos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função dentro da integral nos limites de integração e multiplicando pelas derivadas desses limites.

Passo 3

No nosso caso, a integral é de até 3 de dt. Aqui, o limite inferior é e o limite superior é 3 (que é uma constante). Segundo a regra, a derivada vai ser a função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 4

Vamos aplicar isso passo a passo:
  • A função dentro da integral é .
  • O limite superior é 3, cuja derivada em relação a é 0, porque 3 é constante.
  • O limite inferior é , cuja derivada em relação a é 1.

Passo 5

Agora, substituindo na regra:
Simplificando isso, ficamos com:

Resposta

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