Calcule as derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de uma integral que vai de
até 3 da função
. Isso envolve cálculo diferencial e integral, especificamente a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis. Então, vamos precisar entender como derivar uma integral quando os limites dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante chamada Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1. Ele diz que se tivermos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função dentro da integral nos limites de integração e multiplicando pelas derivadas desses limites.
Passo 3
No nosso caso, a integral é de
até 3 de
dt. Aqui, o limite inferior é
e o limite superior é 3 (que é uma constante). Segundo a regra, a derivada vai ser a função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.
Passo 4
Vamos aplicar isso passo a passo:
- A função dentro da integral é
. - O limite superior é 3, cuja derivada em relação a
é 0, porque 3 é constante. - O limite inferior é
, cuja derivada em relação a é 1.
Passo 5
Agora, substituindo na regra:
Simplificando isso, ficamos com:
Resposta
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.
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