Calcule as integrais
integral0^1 11+e^x d x
Dica: multiplique numerador e denominador por e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver, vamos seguir a dica: multiplicar o numerador e o denominador por .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a dica e multiplicamos numerador e denominador por 11 + e^x times e^-xe^-x = e^-xe^-x + 1 :
Isso simplifica a fração e facilita a integração.

Passo 3

Agora, observamos que a integral fica:
integral0^1 e^-x1 + e^-x , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja dudx = -e^-x . Então, a derivada de em relação a é:
Isso implica que ou .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral e^-x1 + e^-x , dx = integral -duu = -ln|u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Voltando para a variável original -ln(1 + e^-x) + C :
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1.

Passo 6

Calculando a integral definida:
[ -ln(1 + e^-x) ]0^1 = -ln(1 + e^-1) + ln(1 + e^0)
Simplificando:
-ln(1 + 1e) + ln(2)
= ln(2) - ln(1 + 1e)
= ln( 21 + 1e )
= ln( 2ee + 1 )

Resposta

A integral é igual a .

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