Calcule as integrais
integral e^x1+e^x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral
integral e^x1+e^x , dx
Essa é uma questão de cálculo que envolve técnicas de integração, especificamente a substituição. Para resolver, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável. Vamos chamar o denominador u = 1 + e^x de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x Rightarrow du = e^x , dx em relação a para substituir na integral. Derivando ambos os lados:

Passo 4

Substituímos integral e^x1+e^x , dx = integral duu e na integral original:

Passo 5

A integral integral duu = ln|u| + C, é uma forma básica que sabemos resolver. A integral de em relação a é o logaritmo natural de :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos ln|1 + e^x| + C de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral é igual a
ln(1 + e^x) + C

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