Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
x = y^2 - 2, x = 6 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular as áreas das regiões planas delimitadas pelas curvas e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de áreas entre curvas usando integração. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e configurar a integral adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos onde e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual curva está à direita e qual está à esquerda no intervalo entre e . Observando as equações:
Para , por exemplo:
Isso mostra que está à direita de .

Passo 4

A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Á
Aqui, e .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Á
Calculando cada parte:

Passo 7

Subtraindo as duas partes:
Á

Resposta

A área das regiões planas delimitadas pelas curvas e é unidades quadradas.

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