Calcule as derivadas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas aqui, que é uma parte da matemática conhecida como cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas, como uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar o entendimento:
Aqui, temos uma função composta: a função exterior é o quadrado, e a função interior é a cosecante de .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função exterior multiplicada pela derivada da função interior. Então, vamos identificar cada parte:
  • Função exterior: , cuja derivada é .
  • Função interior: , cuja derivada precisamos calcular.

Passo 4

Vamos derivar a função interior . Sabemos que:
Aqui, , então .

Passo 5

Aplicando a derivada da função interior:
Simplificando:

Passo 6

Agora, voltamos à função exterior e aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo que encontramos:

Passo 7

Multiplicando tudo:

Resposta

A derivada da função é:

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