Calcule:
lim x 1 sen(x-1)x^2+2 x-3 (Resposta: 14 )

Passo 1

Vamos calcular o limite de uma função quando se aproxima de 1. O problema envolve funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções que envolvem seno e expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sin(1-1)1^2 + 2(1) - 3 = sin(0)1 + 2 - 3 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite:
Aqui, obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty , uma das ferramentas que podemos usar é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se temos:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
então:

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital à nossa função. Primeiro, encontramos as derivadas do numerador e do denominador:
Numerador: f'(x) = cos(x - 1) cdot 1 = cos(x - 1)
g'(x) = 2x + 2
Denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na função de limite:
limx to 1 cos(x - 1)2x + 2
Substituímos cos(1 - 1)2(1) + 2 = cos(0)4 = 14 :

Resposta

14

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