Notações para as Derivadas Parciais , escrevemos

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está falando. A questão fala sobre derivadas parciais, que são usadas quando temos uma função que depende de mais de uma variável, tipo . A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver ou entender isso, vamos precisar saber como calcular a derivada de uma função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é a derivada parcial de em relação a . Basicamente, você está vendo como muda quando você altera , mantendo fixo. A notação pode parecer complicada, mas todas elas representam a mesma coisa:
Cada uma dessas formas é apenas uma maneira diferente de escrever a derivada parcial de em relação a . Vamos desconstruir algumas delas:
  • é uma notação comum onde você coloca um subscrito indicando em relação a qual variável está derivando.
  • é a notação formal que mostra claramente que estamos derivando em relação a .
  • também indica derivada em relação a , usando para derivada e subescrevendo a variável.

Passo 3

Da mesma forma, temos as notações para a derivada parcial em relação a :
Tudo isso está dizendo a mesma coisa: como muda quando você varia enquanto mantém constante.

Passo 4

Por que a gente precisa dessas múltiplas notações? Basicamente, é por conveniência e contexto. Em diferentes áreas ou livros, você pode encontrar uma notação preferida. O importante é entender que todas elas se referem à mesma operação de derivada parcial.

Passo 5

Vamos ver um exemplo rápido para juntar tudo. Suponha que temos uma função . Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a , que dá . A derivada de em relação a é zero porque é constante.

Resposta

As notações apresentadas para as derivadas parciais de uma função são diferentes formas de expressar como a função muda em relação a cada variável individualmente. Todas elas representam a derivada parcial de em relação a ou , dependendo do contexto.

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