Calcule as derivadas de:
f(x)=integralx-1^x^2+x-2 raizt^2+5 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial e integral, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma integral onde os limites de integração dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que diz que se temos uma função , então a derivada é simplesmente . Mas no nosso caso, os limites de integração são funções de , então precisamos usar uma extensão desse teorema, conhecida como regra de Leibniz.

Passo 3

A regra de Leibniz nos diz que se F'(x) = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x) , então a derivada é dada por:
Isso significa que a derivada é a função integrada avaliada nos limites multiplicada pelas derivadas desses limites.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
f(x) = integralx-1^x^2+x-2 raizt^2+5 , dt
Temos que u'(x) = ddx(x - 1) = 1 e v'(x) = ddx(x^2 + x - 2) = 2x + 1 . Vamos derivar esses limites:

Passo 5

Agora, aplicando a regra de Leibniz:
f'(x) = raizv(x)^2+5 cdot v'(x) - raizu(x)^2+5 cdot u'(x)
Substituindo f'(x) = raiz(x^2+x-2)^2+5 cdot (2x + 1) - raiz(x - 1)^2+5 cdot 1 e :

Resposta

A derivada de f'(x) = raiz(x^2+x-2)^2+5 cdot (2x + 1) - raiz(x - 1)^2+5 é:

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