Calcule as derivadas de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial e integral, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma integral onde os limites de integração dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que diz que se temos uma função , então a derivada é simplesmente . Mas no nosso caso, os limites de integração são funções de , então precisamos usar uma extensão desse teorema, conhecida como regra de Leibniz.

Passo 3

A regra de Leibniz nos diz que se , então a derivada é dada por:
Isso significa que a derivada é a função integrada avaliada nos limites multiplicada pelas derivadas desses limites.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema:
Temos que e . Vamos derivar esses limites:

Passo 5

Agora, aplicando a regra de Leibniz:
Substituindo e :

Resposta

A derivada de é:

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