Descreva o gráfico das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede: temos que descrever o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente com a função seno elevada à vigésima potência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta e como o expoente influencia o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função seno básica, . O gráfico do seno é uma onda que oscila entre -1 e 1, com um período de . Ou seja, ele repete seu padrão a cada unidades no eixo x.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando elevamos o seno a uma potência par, como no nosso caso, que é 20. Quando elevamos o seno a uma potência par, todos os valores negativos da função seno se tornam positivos, porque qualquer número negativo elevado a uma potência par dá um resultado positivo. Isso faz com que o gráfico fique totalmente acima do eixo x, ou seja, todas as partes que antes eram negativas agora estão positivas.

Passo 4

Além disso, quando multiplicamos a função seno por ela mesma muitas vezes (como na potência 20), as partes da função que estavam próximas a 0 se tornam ainda mais próximas de 0, e as partes próximas ao máximo (1) se mantêm próximas de 1. Isso significa que o gráfico terá “picos” mais acentuados nas partes onde o seno era 1 e “vales” mais suaves próximos a 0. A amplitude da função, que antes era de 1, agora permanece em 1, mas a forma do gráfico muda, tornando-se mais achatada nas partes mediantes.

Passo 5

Além disso, o período da função continua sendo , assim como a função seno original. Isso significa que o gráfico repetirá seu padrão a cada unidades no eixo x. Não há mudança no período porque apenas elevamos a função a uma potência, sem alterar a frequência.

Resposta

Então, o gráfico da função é uma onda que oscila entre 0 e 1, com um período de . Ele se parece com a função seno original, mas todas as partes negativas foram “viradas” para positivas e os picos são mais acentuados nas partes onde o seno era 1. O gráfico tem linhas suaves que se aproximam de 0 nas partes onde o seno original cruzaria o eixo x.

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Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde e .
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Calcule as derivadas de: