Descreva o gráfico das seguintes funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que descrever o gráfico da função . Para isso, vamos precisar trabalhar com funções trigonométricas, especificamente o seno, e também entender como elevá-las a uma potência fracionária. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Vamos começar analisando a função dada: . Aqui, representa a função seno, e estamos elevando o seno a uma potência de . Isso significa que estamos tirando a raiz 20ª do seno de .

Passo 3

Agora, precisamos considerar o domínio da função . A função seno varia entre -1 e 1, ou seja, . Quando elevamos o seno a uma potência fracionária como , só podemos fazer isso para valores onde é não negativo, porque não podemos tirar a raiz de número negativo e obter um número real. Portanto, o domínio de será onde .

Passo 4

Vamos lembrar que a função seno tem um período de . Isso significa que o gráfico de se repete a cada unidades no eixo . Como estamos apenas considerando onde é não negativo, nosso gráfico de também terá um comportamento periódico, mas apenas nas partes onde o seno é positivo ou zero.

Passo 5

Agora, vamos pensar em como a função se comporta em relação ao gráfico padrão do seno. Como estamos elevando o seno a uma potência bem pequena ( ), os valores de serão quase iguais a 1 sempre que for positivo, já que qualquer número positivo elevado a uma potência muito pequena tende a 1. Nos pontos onde , obviamente .

Passo 6

Finalmente, vamos descrever o gráfico de :
  • O gráfico estará definido apenas onde , ou seja, de a em cada período de .
  • Dentro desse intervalo, o gráfico será quase uma linha horizontal em , já que o seno elevado a tende a 1 quando é positivo.
  • Nos pontos onde , o gráfico tocará o eixo .
  • O gráfico se repetirá a cada , mantendo essa forma em cada período.

Resposta

O gráfico da função é composto por segmentos quase horizontais situados acima do eixo , definidos apenas onde é positivo (de a em cada período de ). Nessas regiões, os valores de estão próximos de 1, e o gráfico toca o eixo nos pontos onde . Esse padrão se repete a cada , formando uma série de “picos” quase planos ao longo do eixo .

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