Descreva o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que descrever o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar trabalhar com funções trigonométricas, especificamente o seno, e também entender como elevá-las a uma potência fracionária. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Vamos começar analisando a função dada:
. Aqui,
representa a função seno, e estamos elevando o seno a uma potência de
. Isso significa que estamos tirando a raiz 20ª do seno de
.
Passo 3
Agora, precisamos considerar o domínio da função
. A função seno varia entre -1 e 1, ou seja,
. Quando elevamos o seno a uma potência fracionária como
, só podemos fazer isso para valores onde
é não negativo, porque não podemos tirar a raiz de número negativo e obter um número real. Portanto, o domínio de
será onde
.
Passo 4
Vamos lembrar que a função seno tem um período de
. Isso significa que o gráfico de
se repete a cada
unidades no eixo
. Como estamos apenas considerando onde
é não negativo, nosso gráfico de
também terá um comportamento periódico, mas apenas nas partes onde o seno é positivo ou zero.
Passo 5
Agora, vamos pensar em como a função
se comporta em relação ao gráfico padrão do seno. Como estamos elevando o seno a uma potência bem pequena (
), os valores de
serão quase iguais a 1 sempre que
for positivo, já que qualquer número positivo elevado a uma potência muito pequena tende a 1. Nos pontos onde
, obviamente
.
Passo 6
Finalmente, vamos descrever o gráfico de
:
- O gráfico estará definido apenas onde
, ou seja, de a em cada período de . - Dentro desse intervalo, o gráfico será quase uma linha horizontal em
, já que o seno elevado a tende a 1 quando é positivo. - Nos pontos onde
, o gráfico tocará o eixo . - O gráfico se repetirá a cada
, mantendo essa forma em cada período.
Resposta
O gráfico da função
é composto por segmentos quase horizontais situados acima do eixo
, definidos apenas onde
é positivo (de
a
em cada período de
). Nessas regiões, os valores de
estão próximos de 1, e o gráfico toca o eixo
nos pontos onde
. Esse padrão se repete a cada
, formando uma série de “picos” quase planos ao longo do eixo
.
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Calcule as derivadas de:
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Calcule
, onde a função
é definida por
. Esta função é contínua em
?