Calcule as derivadas.
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções compostas e uso de propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, propriedades dos logaritmos e derivadas de funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando uma propriedade dos logaritmos. Sabemos que
. Aplicando isso à nossa função:
Isso simplifica a função e facilita a derivação.
Passo 3
Agora, precisamos derivar
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à nossa função, temos:
Aqui, derivamos
. A derivada de
é
, e então dividimos por
conforme a regra da cadeia.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Porque
.
Resposta
A derivada de
é: