Calcule as derivadas indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a quinta derivada dela, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto das derivadas, que é essencial quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Além disso, vamos precisar saber como derivar exponenciais e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Usamos a regra do produto, que diz que se
, então
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada
.
Partimos de
.
Mais uma vez, aplicamos a regra do produto onde agora:
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vamos continuar com a terceira derivada
.
Partimos de
.
Aplicando a regra do produto novamente:
Derivadas individuais:
Aplicando a regra:
Passo 5
Agora, a quarta derivada
.
Partimos de
.
Aplicando a regra do produto:
Derivadas individuais:
Aplicando a regra:
Passo 6
Finalmente, vamos para a quinta derivada
.
Partimos de
.
Aplicando a regra do produto mais uma vez:
Derivadas individuais:
Aplicando a regra:
Resposta
A quinta derivada de
é: