Calcule as derivadas indicadas.
y = x * e^x ; y^(5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a quinta derivada dela, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a regra do produto das derivadas, que é essencial quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Além disso, vamos precisar saber como derivar exponenciais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Usamos a regra do produto, que diz que se , então .
Aqui, e .
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada .
Partimos de .
Mais uma vez, aplicamos a regra do produto onde agora:
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Vamos continuar com a terceira derivada .
Partimos de .
Aplicando a regra do produto novamente:
Derivadas individuais:
Aplicando a regra:

Passo 5

Agora, a quarta derivada .
Partimos de .
Aplicando a regra do produto:
Derivadas individuais:
Aplicando a regra:

Passo 6

Finalmente, vamos para a quinta derivada .
Partimos de .
Aplicando a regra do produto mais uma vez:
Derivadas individuais:
Aplicando a regra:

Resposta

A quinta derivada de é:

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