Calcule as derivadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente usando a diferenciação logarítmica porque o expoente é uma função que depende de . Vamos precisar lembrar como aplicar logaritmos para facilitar a derivação de funções onde a base e o expoente são variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a função de para facilitar. Então, temos:
Para tornar a derivação mais fácil, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembre-se que estamos derivando em relação a , então usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Para encontrar , vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
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