Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função e precisamos desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos usar a primeira derivada, que nos ajuda a descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo, e também encontrar os pontos máximos e mínimos. Basicamente, vamos precisar calcular a derivada da função, achar onde ela é positiva ou negativa, e identificar esses pontos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em cada ponto. Usamos regras básicas de derivação:

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada :
  • Crescendo: Quando
  • Decrescendo: Quando
Vamos resolver para encontrar o ponto que divide esses intervalos:

Passo 4

Com como ponto crítico, vamos testar os intervalos ao redor desse valor:
  • Para : Escolha
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para : Escolha
    Assim, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos máximos ou mínimos. Sabemos que:
  • Se a função muda de decrescente para crescento no ponto crítico, esse ponto é um mínimo.
  • Se muda de crescento para decrescente, é um máximo.
Como em , a função passa de decrescente para crescente, temos um mínimo nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função original:

Resposta

A função é decrescente no intervalo e crescente no intervalo . Ela possui um ponto de mínimo em .

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Calcule as derivadas.
Calcule as derivadas.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
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