Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem a função
e precisamos desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos usar a primeira derivada, que nos ajuda a descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo, e também encontrar os pontos máximos e mínimos. Basicamente, vamos precisar calcular a derivada da função, achar onde ela é positiva ou negativa, e identificar esses pontos especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em cada ponto. Usamos regras básicas de derivação:
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada
:
- Crescendo: Quando
- Decrescendo: Quando
Vamos resolver
para encontrar o ponto que divide esses intervalos:
Passo 4
Com
como ponto crítico, vamos testar os intervalos ao redor desse valor:
-
Para
: Escolha Então, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Para
: Escolha Assim, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos máximos ou mínimos. Sabemos que:
- Se a função muda de decrescente para crescento no ponto crítico, esse ponto é um mínimo.
- Se muda de crescento para decrescente, é um máximo.
Como em
, a função passa de decrescente para crescente, temos um mínimo nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos
na função original:
Resposta
A função
é decrescente no intervalo
e crescente no intervalo
. Ela possui um ponto de mínimo em
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas.
Calcule as derivadas.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.