Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
usando a primeira derivada. Isso envolve encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar os pontos máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinado ponto.
A função dada é:
Calculando a derivada em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Igualando a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo. Para isso, observamos o sinal da derivada antes e depois desse ponto.
-
Para
: Sefor menor que , é positivo. Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo. -
Para
: Sefor maior que , é negativo. Isso indica que a função está decrescendo nesse intervalo.
Como a função passa de crescente para decrescente no ponto
, esse ponto é um máximo local.
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas desse ponto máximo. Sabemos que
. Basta substituirmos esse valor na função original para encontrar
:
Então, o ponto máximo está em
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A função é um polinômio do segundo grau com coeficiente negativo em
, o que significa que o gráfico é uma parábola voltada para baixo. - O ponto máximo da parábola está em
. - A função está crescendo quando
e decrescendo quando .
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola voltada para baixo, com um ponto máximo em
. A função é crescente para
e decrescente para
.
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Calcule as derivadas.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.