Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função usando a primeira derivada. Isso envolve encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar os pontos máximos ou mínimos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinado ponto.
A função dada é:
Calculando a derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Igualando a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo. Para isso, observamos o sinal da derivada antes e depois desse ponto.
  • Para :
    Se for menor que , é positivo. Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para :
    Se for maior que , é negativo. Isso indica que a função está decrescendo nesse intervalo.
Como a função passa de crescente para decrescente no ponto , esse ponto é um máximo local.

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas desse ponto máximo. Sabemos que . Basta substituirmos esse valor na função original para encontrar :
Então, o ponto máximo está em .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A função é um polinômio do segundo grau com coeficiente negativo em , o que significa que o gráfico é uma parábola voltada para baixo.
  • O ponto máximo da parábola está em .
  • A função está crescendo quando e decrescendo quando .

Resposta

O gráfico da função é uma parábola voltada para baixo, com um ponto máximo em . A função é crescente para e decrescente para .

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Calcule as derivadas.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.