Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n 3^n2 n+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se a série sumn=1^infty n cdot 3^n2n+3 converge ou diverge. Vamos precisar de conhecimentos sobre séries infinitas, especialmente testes como o da razão ou da raiz, que ajudam a determinar o comportamento dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual teste de convergência é mais apropriado para essa série. Observando os termos n cdot 3^n2n+3, vemos que eles envolvem exponenciais e polinômios. Nesse caso, o Teste da Razão é uma boa escolha, pois é eficiente para séries com termos que têm fatores exponenciais.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite de | an+1an | quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série:
an = n cdot 3^n2n+3
Calculamos an+1:
an+1 = (n+1) cdot 3^n+12(n+1)+3 = (n+1) cdot 3^n cdot 32n+5

Passo 5

Agora, vamos formar a razão an+1an:
an+1an = (n+1) cdot 3^n cdot 32n+5 cdot 2n+3n cdot 3^n = 3(n+1)(2n+3)n(2n+5)

Passo 6

Simplificamos a expressão:
3(n+1)(2n+3)n(2n+5) = 3 cdot n+1n cdot 2n+32n+5
Vamos analisar cada parte:
  • n+1n = 1 + 1n 1 quando n infty
  • 2n+32n+5 = 2n(1 + 32n)2n(1 + 52n) = 1 + 32n1 + 52n 1 quando n infty

Passo 7

Portanto, o limite da razão é:
limn to infty an+1an = 3 cdot 1 cdot 1 = 3

Passo 8

Como o limite é 3, que é maior que 1, o Teste da Razão nos indica que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n cdot 3^n2n+3 diverge.

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