Utilize um teste de convergência para séries de termos positivos e determine se a série indicada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos um teste de convergência para séries de termos positivos e descobrir se a série converge ou diverge. Vamos precisar de conhecimentos sobre séries infinitas, especialmente testes como o da razão ou da raiz, que ajudam a determinar o comportamento dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual teste de convergência é mais apropriado para essa série. Observando os termos , vemos que eles envolvem exponenciais e polinômios. Nesse caso, o Teste da Razão é uma boa escolha, pois é eficiente para séries com termos que têm fatores exponenciais.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série:
Calculamos :
Passo 5
Agora, vamos formar a razão :
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Vamos analisar cada parte:
quando
quando
Passo 7
Portanto, o limite da razão é:
Passo 8
Como o limite é 3, que é maior que 1, o Teste da Razão nos indica que a série diverge.