Calcule as derivadas.
f(x) = (3 x + 2)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a derivação de funções que têm a variável no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada diferenciação logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a nossa vida aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da função. Isso ajuda a lidar com a parte que está no expoente. Então, escrevemos:

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando diferenciamos , usamos a regra da cadeia, então derivamos primeiro o logaritmo e depois a função interna . Assim:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do produto na derivada do lado direito. A regra do produto diz que . Aqui, e . Então:

Passo 6

Vamos continuar diferenciando . A derivada de é . Então, para :

Passo 7

Substituindo de volta na equação, temos:

Passo 8

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados