Calcule as derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a derivação de funções que têm a variável no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada diferenciação logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a nossa vida aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da função. Isso ajuda a lidar com a parte que está no expoente. Então, escrevemos:
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando diferenciamos
, usamos a regra da cadeia, então derivamos primeiro o logaritmo e depois a função interna
. Assim:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra do produto na derivada do lado direito. A regra do produto diz que
. Aqui,
e
. Então:
Passo 6
Vamos continuar diferenciando
. A derivada de
é
. Então, para
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação, temos:
Passo 8
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função é: