Calcule as derivadas.
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos a encontrar a taxa de variação de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação de funções que têm a variável no expoente, o que envolve o uso de logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando logaritmos para facilitar a derivação. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo:
Passo 5
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Passo 7
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é: