Calcule as derivadas. f(x) = (3 x + 2)^x

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos a encontrar a taxa de variação de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação de funções que têm a variável no expoente, o que envolve o uso de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando logaritmos para facilitar a derivação. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usamos a regra da cadeia na derivada do lado esquerdo:

Passo 5

Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e :

Passo 6

Simplificamos a expressão:

Passo 7

Isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas. f(x) = raiz(e^x + e^(-2 x))
Verifique a paridade das seguintes funções:
(a) f(x) = 4
(f) g(x) = x / (x^2 - 1)
(j) f(x) = sen(2x)
(b) f(x) = 3 x^2 + 1
(g) h(t) = 1/(t-1)
© f(x) = x^2 + x
(h) h(t) = 2t + 1
(k) f(x) = sen(x^2)
(d) g(x) = x^3 + x
(i) h(t) = 2|t| + 1
(1) f(x) = cos(3 x)
(e) g(x) = x^4 + 3 x^2 - 1
(m) f(x) = 1 + sen^3(x)
Num concurso público para Professor do Ensino - Primário, foram inscritos 2500 candidatos. O único critério de eliminação era nota inferior a 3,0 na prova de Matemática ou na prova de Português. Após a apuração dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em Matemática e 210 em Português. Pergunta-se:
Quantos candidatos foram eliminados apenas na prova de Matemática?
Faça o gráfico das funções a seguir e especifique os intervalos nos quais as funções são crescentes ou decrescentes e também o conjunto imagem.
g(x) = { 1/x, x < 0; x, x ≥ 0 }