Calcule as derivadas da função
dada por:
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisa calcular a sua derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar o logaritmo natural (
) e a raiz quadrada (
).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Temos o logaritmo natural de algo, e esse “algo” é
. Para derivar
, onde
é uma função de
, a derivada é
. Então, vamos aplicar essa regra aqui.
Passo 3
Vamos chamar
. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada de uma constante é zero, então a derivada de 1 é 0. A segunda parte é a derivada de
.
Passo 4
Para derivar
, lembramos que
, e a derivada de
é
. Então, substituindo
, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Agora, retornando a
:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia para derivar
:
Passo 7
Vamos simplificar a fração:
Isso pode ser reescrito como:
Resposta
A derivada da função é:
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