Calcule as derivadas da função dada por:

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa calcular a sua derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar o logaritmo natural ( ) e a raiz quadrada ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Temos o logaritmo natural de algo, e esse “algo” é . Para derivar , onde é uma função de , a derivada é . Então, vamos aplicar essa regra aqui.

Passo 3

Vamos chamar . Precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada de uma constante é zero, então a derivada de 1 é 0. A segunda parte é a derivada de .

Passo 4

Para derivar , lembramos que , e a derivada de é . Então, substituindo , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
Agora, retornando a :

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia para derivar :

Passo 7

Vamos simplificar a fração:
Isso pode ser reescrito como:

Resposta

A derivada da função é:

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