Calcule as derivadas da função
dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função implícita dada por
. O assunto principal aqui é cálculo de derivadas, especificamente usando a diferenciação implícita. Pra resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, lembrando que
é uma função de
, então teremos que usar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra do poder e a regra da cadeia). Para
, a derivada é
(sabendo que a derivada de
é
).
Então, o lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação:
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
.
Então, o lado direito fica:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Podemos fatorar
do lado esquerdo:
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A derivada da função
é:
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