Calcule as derivadas da função dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função implícita dada por . O assunto principal aqui é cálculo de derivadas, especificamente usando a diferenciação implícita. Pra resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, lembrando que é uma função de , então teremos que usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação:
A derivada de em relação a é (usando a regra do poder e a regra da cadeia). Para , a derivada é (sabendo que a derivada de é ).
Então, o lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação:
A derivada de em relação a é e a derivada de é .
Então, o lado direito fica:

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Podemos fatorar do lado esquerdo:

Passo 6

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada da função é:

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