Calcule as derivadas da função dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas da função definida pela equação . A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que é quando a função não está isolada em um lado da equação. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . A equação é .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto na parte esquerda:
Sabemos que e pela regra da cadeia.

Passo 4

Substituindo as derivadas conhecidas:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Os termos se cancelam:

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Sabemos que , então vamos derivar isso em relação a :

Passo 9

A derivada de é :

Resposta

A segunda derivada de em relação a é .

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