Calcule as derivadas da função
dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas da função
definida pela equação
. A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que é quando a função não está isolada em um lado da equação. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. A equação é
.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra do produto na parte esquerda:
Sabemos que
e
pela regra da cadeia.
Passo 4
Substituindo as derivadas conhecidas:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Os termos
se cancelam:
Passo 8
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Sabemos que
, então vamos derivar isso em relação a
:
Passo 9
A derivada de
é
:
Resposta
A segunda derivada de
em relação a
é
.
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