Calcule as derivadas da função
dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função implícita dada por
. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas dessa função, ou seja, encontrar
. Para resolver isso, vamos precisar usar o diferencial implícito, que é uma técnica muito útil quando temos funções onde y não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando a gente derivar termos que envolvem
, vai ter que aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo:
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a requer a regra da cadeia. Sabemos que , e multiplicamos isso por .
Então:
Passo 5
O lado direito da equação original é 1, e a derivada de uma constante é zero:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Passo 7
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A derivada da função é:
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dada por:
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Encontre, se houver, os extremos locais e globais de
no intervalo dado. Justifique as suas respostas.
para
Seja a função
Determine o domínio de
, a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).