Calcule as derivadas da função y = f(x) dada por: ln x cos y = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função implícita dada por . Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas dessa função, ou seja, encontrar . Para resolver isso, vamos precisar usar o diferencial implícito, que é uma técnica muito útil quando temos funções onde y não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando a gente derivar termos que envolvem y, vai ter que aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo: . Aqui, temos um produto de duas funções: ln x e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. A derivada de ln x em relação a x é 1/x.
  2. A derivada de em relação a x requer a regra da cadeia. Sabemos que , e multiplicamos isso por .
Então:

Passo 5

O lado direito da equação original é 1, e a derivada de uma constante é zero:

Passo 6

Agora, juntando tudo:

Passo 7

Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 8

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A derivada da função é:

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