Encontre, se houver, os extremos locais e globais de
no intervalo dado. Justifique as suas respostas.
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente encontrar os extremos locais e globais da função
no intervalo de
a
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função tem máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função muda, ou seja, onde podem estar os extremos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.
Resolvendo
:
Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 6:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Verificamos se esses pontos críticos estão dentro do intervalo dado, que é de
a
. Ambos
e
estão dentro desse intervalo, então vamos avaliar a função nesses pontos e também nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Passo 5
Calculando
nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
Passo 6
Agora, analisamos os valores encontrados:
- No ponto
, : Esse é o valor mais alto encontrado, então é o extremo global máximo no intervalo. - No ponto
, : Esse é o valor mais baixo encontrado, então é o extremo global mínimo no intervalo. - Nos extremos do intervalo:
-
, -
,
-
Resposta
Os extremos globais da função
no intervalo
são:
- Máximo global em
com - Mínimo global em
com
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas da função
dada por:
Calcule as derivadas da função
dada por:
Seja a função
Determine o domínio de
, a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).
Seja a função
Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de
.