Encontre, se houver, os extremos locais e globais de no intervalo dado. Justifique as suas respostas. para

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede pra gente encontrar os extremos locais e globais da função no intervalo de a . Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função tem máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função muda, ou seja, onde podem estar os extremos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde . Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.
Resolvendo :
Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 6:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Verificamos se esses pontos críticos estão dentro do intervalo dado, que é de a . Ambos e estão dentro desse intervalo, então vamos avaliar a função nesses pontos e também nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.

Passo 5

Calculando nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:

Passo 6

Agora, analisamos os valores encontrados:
  • No ponto , : Esse é o valor mais alto encontrado, então é o extremo global máximo no intervalo.
  • No ponto , : Esse é o valor mais baixo encontrado, então é o extremo global mínimo no intervalo.
  • Nos extremos do intervalo:
    • ,
    • ,

Resposta

Os extremos globais da função no intervalo são:
  • Máximo global em com
  • Mínimo global em com

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